数值求解一个或多个方程¶
使用 SymPy 数值求解一个或多个方程。例如，数值求解 \(\cos(x) = x \) 返回 \( x \approx 0.739085133215161\)。
数值求解在以下情况下很有用
您只需要数值解，不需要符号解
没有闭式解或闭式解过于复杂；请参考 何时可能更倾向于数值解
solve() 和 solveset() 不会尝试找到数值解，只会找到数学上精确的符号解。因此，如果您需要数值解，请使用 nsolve()。
SymPy 专为符号数学而设计。如果您不需要进行符号运算，那么对于数值运算，您可以使用其他免费开源包，例如 NumPy 或 SciPy，它们速度更快，可以处理数组，并且实现了更多算法。使用 SymPy（或其依赖项 mpmath）进行数值计算的主要原因是
在使用 SymPy 进行符号计算的背景下，进行简单的数值计算。
如果您需要任意精度功能来获得比 float64 更精确的数字。
其他选择¶
SciPy 的
scipy.optimize.fsolve()可以解决（非线性）方程组NumPy 的
numpy.linalg.solve()可以解决线性标量方程组mpmath 的
findroot()，nsolve()调用并可以传递参数
数值求解方程的示例¶
以下是如何数值求解一个方程的示例
>>> from sympy import cos, nsolve, Symbol
>>> x = Symbol('x')
>>> nsolve(cos(x) - x, x, 1)
0.739085133215161
指导¶
支持超定方程组。
查找实函数的复根¶
要解决实函数的复根，请指定一个非实（纯虚数或复数）初始点
>>> from sympy import nsolve
>>> from sympy.abc import x
>>> nsolve(x**2 + 2, 1) # Real initial point returns no root
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: Could not find root within given tolerance. (4.18466446988997098217 > 2.16840434497100886801e-19)
Try another starting point or tweak arguments.
>>> from sympy import I
>>> nsolve(x**2 + 2, I) # Imaginary initial point returns a complex root
1.4142135623731*I
>>> nsolve(x**2 + 2, 1 + I) # Complex initial point returns a complex root
1.4142135623731*I
确保找到的根位于给定区间¶
不能保证 nsolve() 会找到最接近初始点的根。这里，尽管根 -1 距离初始点 -0.1 更近，但 nsolve() 找到了根 1
>>> from sympy import nsolve
>>> from sympy.abc import x
>>> nsolve(x**2 - 1, -0.1)
1.00000000000000
您可以通过在元组中指定区间，使用 solver='bisect' 来确保找到的根位于给定区间（如果存在）。这里，指定区间 (-10, 0) 确保找到根 -1
>>> from sympy import nsolve
>>> from sympy.abc import x
>>> nsolve(x**2 - 1, (-10, 0), solver='bisect')
-1.00000000000000
数值求解方程组¶
要解决多维函数组，请提供一个元组，其中包含
函数
(f1, f2)要解决的变量
(x1, x2)起始值
(-1, 1)
>>> from sympy import Symbol, nsolve
>>> x1 = Symbol('x1')
>>> x2 = Symbol('x2')
>>> f1 = 3 * x1**2 - 2 * x2**2 - 1
>>> f2 = x1**2 - 2 * x1 + x2**2 + 2 * x2 - 8
>>> print(nsolve((f1, f2), (x1, x2), (-1, 1)))
Matrix([[-1.19287309935246], [1.27844411169911]])
提高解决方案的精度¶
您可以使用 prec 提高解决方案的精度
>>> from sympy import Symbol, nsolve
>>> x1 = Symbol('x1')
>>> x2 = Symbol('x2')
>>> f1 = 3 * x1**2 - 2 * x2**2 - 1
>>> f2 = x1**2 - 2 * x1 + x2**2 + 2 * x2 - 8
>>> print(nsolve((f1, f2), (x1, x2), (-1, 1), prec=25))
Matrix([[-1.192873099352460791205211], [1.278444111699106966687122]])
创建可以使用 SciPy 求解的函数¶
如上所述，SymPy 侧重于符号计算，并没有针对数值计算进行优化。如果您需要多次调用数值求解器，使用针对数值计算进行优化的求解器（例如 SciPy 的 root_scalar()）可能会更快。推荐的工作流程是
使用 SymPy 生成（通过符号简化或求解方程）数学表达式
使用
lambdify()将其转换为 lambda 函数使用 SciPy 等数值库生成数值解
>>> from sympy import simplify, cos, sin, lambdify
>>> from sympy.abc import x, y
>>> from scipy.optimize import root_scalar
>>> expr = cos(x * (x + x**2)/(x*sin(y)**2 + x*cos(y)**2 + x))
>>> simplify(expr) # 1. symbolically simplify expression
cos(x*(x + 1)/2)
>>> lam_f = lambdify(x, cos(x*(x + 1)/2)) # 2. lambdify
>>> sol = root_scalar(lam_f, bracket=[0, 2]) # 3. numerically solve using SciPy
>>> sol.root
1.3416277185114782
使用解决方案结果¶
将结果代入表达式¶
最佳实践是使用 evalf() 将数值代入表达式。以下代码演示了数值不是精确的根，因为将它代回表达式会产生略微不同于零的结果
>>> from sympy import cos, nsolve, Symbol
>>> x = Symbol('x')
>>> f = cos(x) - x
>>> x_value = nsolve(f, x, 1); x_value
0.739085133215161
>>> f.evalf(subs={x: x_value})
-5.12757857962640e-17
使用 subs 可能会由于精度误差而导致错误的结果，这里实际上将 -5.12757857962640e-17 四舍五入为零
>>> f.subs(x, x_value)
0
在代入值时，您也可以将某些符号保留为变量
>>> from sympy import cos, nsolve, Symbol
>>> x = Symbol('x')
>>> f = cos(x) - x
>>> x_value = nsolve(f, x, 1); x_value
0.739085133215161
>>> y = Symbol('y')
>>> z = Symbol('z')
>>> g = x * y**2
>>> values = {x: x_value, y: 1}
>>> (x + y - z).evalf(subs=values)
1.73908513321516 - z
并非所有方程都可以求解¶
nsolve() 是一个数值求解函数，因此它通常可以为无法用代数方法求解的方程提供解。
无解方程¶
有些方程无解，在这种情况下，SymPy 可能会返回错误。例如，方程 \(e^x = 0\)（在 SymPy 中为 exp(x)）无解
>>> from sympy import nsolve, exp
>>> from sympy.abc import x
>>> nsolve(exp(x), x, 1, prec=20)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: Could not find root within given tolerance. (5.4877893607115270300540019e-18 > 1.6543612251060553497428174e-24)
Try another starting point or tweak arguments.
报告错误¶
如果您发现 nsolve() 存在错误，请在 SymPy 邮件列表 上发布问题。在问题解决之前，您可以使用 其他选择 中列出的其他方法。