简介¶

什么是符号计算？¶

符号计算处理数学对象的符号计算。这意味着数学对象是精确表示的，而不是近似表示的，并且包含未求解变量的数学表达式将以符号形式保留。

让我们举个例子。假设我们要使用内置的 Python 函数来计算平方根。我们可以这样做

>>> import math
>>> math.sqrt(9)
3.0

9 是一个完全平方数，因此我们得到了精确答案 3。但假设我们计算了一个不是完全平方数的数字的平方根

>>> math.sqrt(8)
2.82842712475

这里我们得到了一个近似结果。2.82842712475 不是 8 的精确平方根（实际上，8 的实际平方根不能用有限小数表示，因为它是一个无理数）。如果我们只关心 8 的平方根的小数形式，我们就可以完成了。

但假设我们想要更进一步。回想一下 $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2}$ 。从上面的结果中很难推导出这一点。这就是符号计算发挥作用的地方。使用像 SymPy 这样的符号计算系统，默认情况下不会对非完全平方数的平方根进行求值。

>>> import sympy
>>> sympy.sqrt(3)
sqrt(3)

此外——而这正是我们开始看到符号计算的真正力量的地方——符号结果可以被符号简化。

>>> sympy.sqrt(8)
2*sqrt(2)

更有趣的例子¶

上面的例子开始展示了我们如何使用 SymPy 精确地操作无理数。但它远不止于此。符号计算系统（顺便说一下，也经常被称为计算机代数系统，或简称为 CAS）如 SymPy 能够计算包含变量的符号表达式。

正如我们将在后面看到的，在 SymPy 中，变量使用 symbols 定义。与许多符号操作系统不同，SymPy 中的变量必须在使用之前定义（原因将在下一节中讨论）。

让我们定义一个符号表达式，代表数学表达式 $x + 2 y$ 。

>>> from sympy import symbols
>>> x, y = symbols('x y')
>>> expr = x + 2*y
>>> expr
x + 2*y

请注意，我们写了 x + 2*y，就像我们如果 x 和 y 是普通的 Python 变量一样。但在这种情况下，表达式不会求值为某个值，而是保留为 x + 2*y。现在让我们玩一玩它

>>> expr + 1
x + 2*y + 1
>>> expr - x
2*y

在上面的例子中注意一些事情。当我们输入 expr - x 时，我们没有得到 x + 2*y - x，而是只得到了 2*y。 x 和 -x 自动相互抵消。这类似于 sqrt(8) 在上面自动变为 2*sqrt(2)。然而，这并不总是发生在 SymPy 中。

>>> x*expr
x*(x + 2*y)

在这里，我们可能期望 $x (x + 2 y)$ 变为 $x^{2} + 2 x y$ ，但我们看到表达式被保留了下来。这是 SymPy 中的一个常见主题。除了 $x - x = 0$ 和 $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ 之类的明显简化之外，大多数简化不会自动执行。这是因为我们可能更喜欢因式分解形式 $x (x + 2 y)$ ，或者我们可能更喜欢展开形式 $x^{2} + 2 x y$ 。两种形式在不同的情况下都有用。在 SymPy 中，有函数可以将一种形式转换为另一种形式。

>>> from sympy import expand, factor
>>> expanded_expr = expand(x*expr)
>>> expanded_expr
x**2 + 2*x*y
>>> factor(expanded_expr)
x*(x + 2*y)

符号计算的力量¶

像 SymPy 这样的符号计算系统的真正力量在于能够以符号方式进行各种计算。SymPy 可以简化表达式，计算导数、积分和极限，求解方程，处理矩阵，以及更多，并且所有这些都以符号方式进行。它包含用于绘图、打印（例如数学公式的二维漂亮打印输出，或 $L A T E X$ ）、代码生成、物理学、统计学、组合学、数论、几何学、逻辑学等的模块。以下是一些 SymPy 能够实现的符号能力的示例，以激发您的兴趣。

>>> from sympy import *
>>> x, t, z, nu = symbols('x t z nu')

这将使所有后续示例以 Unicode 字符进行漂亮打印。

>>> init_printing(use_unicode=True)

求 $\sin (x) e^{x}$ 的导数。

>>> diff(sin(x)*exp(x), x)
 x           x
ℯ ⋅sin(x) + ℯ ⋅cos(x)

计算 $\int (e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)) d x$ 。

>>> integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)
 x
ℯ ⋅sin(x)

计算 $\int_{- \infty}^{\infty} \sin (x^{2}) d x$ 。

>>> integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))
√2⋅√π
─────
  2

求 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$ 。

>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1

求解 $x^{2} - 2 = 0$ 。

>>> solve(x**2 - 2, x)
[-√2, √2]

求解微分方程 $y^{″} - y = e^{t}$ 。

>>> y = Function('y')
>>> dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))
           -t   ⎛     t⎞  t
y(t) = C₂⋅ℯ   + ⎜C₁ + ─⎟⋅ℯ
                ⎝     2⎠

求 $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$ 的特征值。

>>> Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()
⎧3   √17     3   √17   ⎫
⎨─ - ───: 1, ─ + ───: 1⎬
⎩2    2      2    2    ⎭

将贝塞尔函数 $J_{ν} (z)$ 改写为球贝塞尔函数 $j_{ν} (z)$ 。

>>> besselj(nu, z).rewrite(jn)
√2⋅√z⋅jn(ν - 1/2, z)
────────────────────
         √π

使用 $L A T E X$ 打印 $\int_{0}^{π} \cos^{2} (x) d x$ 。

>>> latex(Integral(cos(x)**2, (x, 0, pi)))
\int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

为什么选择 SymPy?¶

市面上有很多计算机代数系统。这里是维基百科上列出的一些系统。是什么让 SymPy 比其他系统更好呢？

首先，SymPy 完全免费。它是开源的，并根据宽松的 BSD 许可证授权，因此您可以修改源代码，甚至可以出售它（如果您愿意）。这与 Maple 或 Mathematica 等流行的商业系统形成对比，后者需要数百美元的许可证费用。

其次，SymPy 使用 Python。大多数计算机代数系统发明了自己的语言。SymPy 则没有。SymPy 完全用 Python 编写，并在 Python 中执行。这意味着如果您已经了解 Python，那么使用 SymPy 会容易得多，因为您已经知道语法（如果您不了解 Python，那么学习它也非常容易）。我们已经知道 Python 是一种设计良好、经受考验的语言。SymPy 开发人员对他们在编写数学软件方面的能力充满信心，但编程语言设计完全是另一回事。通过重用现有的语言，我们能够专注于重要的事情：数学。

另一个计算机代数系统 Sage 也使用 Python 作为其语言。但 Sage 很大，下载量超过 1 GB。SymPy 的一个优势是它很轻量级。除了相对较小之外，它也没有除 Python 之外的其他依赖项，因此它几乎可以在任何地方轻松使用。此外，Sage 和 SymPy 的目标不同。Sage 的目标是成为一个功能齐全的数学系统，并通过将所有主要的开源数学系统编译到一个系统中来实现这一点。当您在 Sage 中调用某个函数时，例如 integrate，它会调用它包含的其中一个开源包。实际上，SymPy 包含在 Sage 中。另一方面，SymPy 的目标是成为一个独立的系统，所有功能都在 SymPy 本身中实现。

SymPy 的另一个重要特性是它可以作为库使用。许多计算机代数系统专注于在交互式环境中可用，但如果您希望自动化或扩展它们，则很难做到。使用 SymPy，您可以在交互式 Python 环境中轻松使用它，也可以在您自己的 Python 应用程序中导入它。SymPy 还提供 API，使其易于用您自己的自定义函数扩展它。